En devoir à la maison, mes sixièmes devaient :

poser les divisions de 1563 ; 1564 ; … et 1570 par 4.

A la correction, on a constaté la régularité des parties décimales.

Puis j’ai posé la question :

Pourquoi une division d’un nombre décimal par 4 “s’arrête” toujours ?

Première réponse largement donnée : parce que 4 est pair.

Nous avons posé la division de 1 par 6 et abandonné cette première piste.

Deuxième réponse d’un élève : Parce que les nombres de la table de 4 sont pairs.

A nouveau, 6 nous fournissait un beau contre-exemple même s’il m’a fallu justifier que tous les multiples de 6 sont pairs (je suis revenu à : 6 ; 12 ; 18, on compte de 6 en 6 donc les multiples seront toujours pairs)

Nouvelle réponse s’appuyant sur le travail de la veille : parce que ça se terminer par ",25" ",5" ou ",75".

(la question initiale portait sur les décimaux et cette réponse ne convient qu’aux dividendes entiers mais je n’ai pas insisté là-dessus, la piste était relativement bonne)

Là, il y a eu une grosse discussion sur "Comment savoir qu’un nombre, parmi l’infinité des nombres entiers qu’il n’existe aucun nombre échappant à la règle que l’on venait d’énoncer ?"

Alors là, devant l’infinité des nombres, tous ont conclu qu’il serait impossible de prouver la conjecture initiale. Profondément, j’ai senti que les élèves venaient d’être terrassés par une question d’un autre monde :

un mur d’une hauteur infinie avec une seule possibilité de passer de l’autre côté : le franchir.

Je pense qu’il s’agit là d’un point très important :

Pour un élève de sixième, ce qui relève de l’opération relève de la technique opératoire (c’est la seule possibilité) alors qu’on sait qu’elle seront par la suite un petit outil loin derrière les théorèmes (dont elles procèdent d’ailleurs) dans le traitement des opérations sur les relatifs, rationnels, etc.

En l’absence de nouvelles idées, j’ai laissé la question en suspens et posé une nouvelle :

Pour quels diviseurs est-on certain que la division d’un décimal “s’arrête” ?

Réponse largement donnée : 10.

Diviser par 10 revient à “bouger” la virgule donc le quotient d’un décimal par 10 est encore un décimal (il a juste un chiffre de plus après la virgule)

Puis 100, puis 1000 puis toutes les puissances de 10.

C’est déjà le résultat d’un théorème qu’on a appelé "formule magique" dans le cours mais dont on s’est convaincu en pointant le caractère décimal de notre écriture des nombres.

Et alors ?

Alors, j’ai rappelé l’écriture fractionnaire du quotient d’une division ( a : b = a/b).

Ca nous a amené à produire une définition beaucoup plus précise d’un nombre décimal :

Plus besoin de parler de virgule et d’expliquer la signification de chaque chiffre. Il suffisait de dire qu’un nombre décimal est le quotient d’un nombre entier par une puissance de 10 (autrement dit : il peut s’écrire comme une fraction décimale)

Ensuite, on a fait deux petits exercices :

Petit exercice pour intégrer cette nouvelle définition :

Passage de l’écriture décimale à la fraction décimale pour une dizaines de nombres.

Deuxième exercice plus difficile :

Parmi les écritures fractionnaires suivantes, Entourer en rouge les fractions décimales. En vert les nombres décimaux.

32,5/100 ; 52,5/7 ; 34,5/7 ; 21/4 ; 132/100 ; 3456/1000 ; 39/4 ; 2/3 ; 4/1000 ; 12,3/10 ; 3,123/10 et 543,2/5

La première question était immédiate.

Pour la deuxième, certaines comme 32,5/100 étaient faciles à "transformer" en fractions décimales mais les autres ?

52,5/7, par exemple, est-il décimal ?

Posons la division : résultat 7,5 soit 75/10. C’est un décimal.

Aurait-on pu se passer de la division pour trouver 75/10 ?

Pas d’idée, on continue.

34,5/7 est-il décimal ?

La division ne s’arrête jamais et il nous faudrait un entier et une puissance de 10 "infinis".

Mêmes raisonnements pour les autres.

En regardant droit dans les yeux les deux fractions de dénominateur 4 et ce qu’on leur a fait subir, ne pourrait-on pas deviner comment répondre à la question de départ ?????