Petite interrogation en six minutes chrono pour des élèves de sixièmes :
Effectuer en ligne :
142857 x 3 =
142857 x 60 =
142857 x 700 =
Poser et effectuer :
142857 x 763 =
142857 x 3067 =
Je reviens sur la correction de ce contrôle dans le commentaire suivant mais je présente ici les étapes qui nous ont amenés à ce genre d’exercice.
J’ai présenté un rapide historique de la multiplication des entiers.
D’abord, comme additions répétées :
On a effectué "4678 x 4" et 4678 + 4678 + 4678 + 4678" en même temps pour constater que les deux techniques racontaient la même histoire (ici, j’ai 8+8+8+8 soit quatre fois 8 et là, j’ai 4x8 soit 36 dont je retiens 3 dizaines, etc.)
Ensuite, je leur ai fait poser une addition à douze termes dont onze ayant 9 comme chiffre des unités (le dernier ayant 4 comme chiffre des unités). Ainsi, la somme des unités était 103, ce qui a fait dire à certains qu’on devait retenir 10 dizaines. J’ai demandé si personne ne voyait une autre façon de s’occuper de cette retenue : Quelques-une ont pensé à retenir directement 1 centaine et c’est que l’on a fait. La colonne des dizaines nous donnait une retenue de 8 centaines. (il y a donc deux retenues pour la colonne des centaines). Composée de dix 9 et de deux 7, la somme est alors de 113 centaines, soit une retenue pour la colonne des dizaines de mille et une pour la colonne des milliers. Le reste de l’addition se faisait difficulté technique.
Plus tard, nous avons également posé 258x100 et l’addition associée "258+258+...". La somme des unités donnait 800 soit une retenue de 8 centaines ce qui permet de visualiser le décalage de deux colonnes vers la gauche. Ce fut la même chose pour les deux autres colonnes à traiter.
Je leur ai proposé d’étudier la technique de multiplication des égyptiens (l’enthousiasme est venu du fait que j’ai annoncé que les égyptiens n’avaient pas besoin de connaître leurs tables)
Dans toute la suite, les nombres étaient écrits en hiéroglyphes selon le système égyptien
Un fermier possède 25 lapins. Il trouve un paysan qui est prêt à lui échanger chaque lapin contre 123 carottes. Combien le fermier obtient-il de carottes en échangeant ses lapins ?
nombre de lapins échangés | nombre de carottes obtenues |
1 | 123 |
2 | 246 |
4 | 492 |
8 | 984 |
16 | 1968 |
Comment répondre maintenant au problème ?
Beaucoup ont répondu très naturellement que puisque 25 était la somme de 16 ;de 8 et 1 donc que la solution serait la somme de 123 ;984 et de 1968.
Pour les autres, j’ai scénarisé à l’oral en expliquant que parmi les 25 lapins 16 étaient blancs ; 8 marrons et 1 noir. Nous avons barré d’un trait les deux lignes du tableau qui ne nous servaient plus et nous avons conclu.
Effectivement, les égyptiens n’avaient pas à connaître leurs tables, pas plus d’ailleurs que ceux qui préféraient revenir systématiquement à l’addition répétée mais ça pouvait quand même être sacrément long.
Ainsi, pour le problème suivant :
Un fermier possède deux cent treize lapins. Il trouve un paysan qui est prêt à lui échanger chaque lapin contre quatre cent douze carottes. Combien le fermier obtient-il de carottes en échangeant ses lapins ?
la méthode égyptienne s’avérait assez pénible.
Je leur proposais donc une variant de cette méthode beaucoup plus rapide :
nombre de lapins échangés | nombre de carottes obtenues | |
1 | 412 | |
3 | 1236 | (effectuée en ligne dans un coin du cahier) |
10 | 4120 | (effectuée de tête) |
200 | 82400 | (en écrivant 412x200=412x2x100) |
Il ne restait plus qu’à poser l’addition en recommençant l’histoire des 200 lapins blancs ; des 10 marrons et des 3 noirs.
En posant à côté du tableau la multiplication 412x213 comme ils l’avaient apprise au CM2, on a constaté que chaque ligne du tableau correspondait à une ligne de la multiplication et conclu que NOTRE technique n’était rien d’autre qu’une amélioration de la technique égyptienne qui nécessitait la connaissance des tables.
Pour terminer, ils devaient poser 412x332. Ils l’ont posé en refaisant tous les calculs, évidemment. Une remarque sur les deux lignes (412x30) et (412x300) a permis de se dire qu’on aurait pu déduire la deuxième de la première voire même du premier résultat mis dans le tableau de l’exercice précédent (412x3).
Comme je l’ai indiqué dans le commentaire précédent, les lignes des deux calculs posés ne doivent pas être recalculées (sinon l’élève n’a pas le temps de finir) mais déduites des calculs en ligne.
Certains élèves n’arrivent pas à calculer en ligne et ont posé les trois premiers calculs en colonne puis les ont gommés après avoir écrit le résultat. Évidemment, ils n’ont pas eu le temps de finir. Je leur ai conseillé de commencer par la deuxième partie du devoir en posant 142857x763 puis d’en déduire les résultats des calculs en ligne. Au devoir suivant, ils ont mieux réussi avec cette technique.
J’ai fait plusieurs fois ce petit devoir de 6 minutes en début d’heure, parfois sous la forme décrite dans l’article, parfois sous une forme qui se concentre exclusivement sur le sens à donner aux lignes de la multiplication :
Voici la table de 853 :
853 x 2 = 1706
853 x 3 = 2559
853 x 4 = 3412
853 x 5 = 4265
853 x 6 = 5118
853 x 7 = 5971
853 x 8 = 6824
853 x 9 = 7677
Poser et effectuer 853x365 ; 853x298 et 853x70994
Pour la dernière, une discussion a lieu car on leur a toujours conseillé de mettre le plus petit nombre en deuxième position pour poser alors qu’en fait, il peut être plus intéressant de mettre celui qui s’écrit avec le moins de chiffres différents de 0. Il est souvent nécessaire de la poser dans les deux sens pour montrer que, si les lignes sont toutes différentes, le résultat final est le même.
Parfois aussi, la consigne est de, par exemple, bien revoir sa table de 8 puisque le devoir reposera beaucoup autour de cette table.
Je choisis souvent 142857 car je connais par cœur les multiples et la vérification des calculs est bien plus aisée. J’arrête quand les élèves les connaissent aussi bien que moi.