Après l’activité Triangles à périmètre constant qui proposait le tracé d’une ellipse, je leur ai distribué la solution [1]
Il s’agit maintenant de mesurer le périmètre et l’aire de cette ellipse.
[1] travailler directement sur la production de certains élèves leur aurait considérablement compliquer la tache
C’est avant tout un exercice de découverte de l’aire et du périmètre.
Le périmètre est mesuré à la ficelle en discutant des inconvénients de cette méthode rudimentaire.
Pour l’aire, les élèves doivent paver la figure avec des centimètres carrés distribués sous la forme d’un quadrillage.
Au début, on peut les intégrer par blocs. Le concours est lancé pour trouver le plus « gros » rectangle tenant dans l’ellipse. Les élèves entendent par rectangle, un rectangle aux dimensions entières. Ca m’arrange, je ne lance pas la discussion. Quand chacun me montre le rectangle qu’il juge le meilleur, on discute pour savoir ce que signifie le plus « gros » rectangle :
Il y a trois rectangles candidats : 8x4 ; 7x5 et 6x6.
Il est très intéressant de faire remarquer que les périmètre de ces trois rectangles sont égaux et pourtant, il y en a bien un qui contient plus de centimètres carrés que les autres.
Quand les centimètres carrés entiers sont tous entrés, en les comptant, on peut dire que l’aire de l’ellipse est plus grande que cette quantité. J’insiste sur le fait que c’est déjà une précieuse information. On en sait maintenant beaucoup plus sur notre ellipse.
Au fait, peut-on dire qu’elle est plus petite qu’une certaine quantité ?
Beaucoup d’élèves se mettent à recouvir sans coller l’ellipse avec les centimètres carrés et l’on obtient donc UN ENCADREMENT DE L’AIRE DE L’ELLIPSE.
Cherchons maintenant à affiner le travail.
Elève : - A-t-on le droit de découper un centimètre carré pour le faire rentrer dans l’ellipse ?
Prof : - Sous certaines conditions, oui. Mais lesquelles ?
E : - ??????
P : - Si il est coupé, va-t-on pouvoir le compter comme les autres ?
E : - Ah non ! Il faudra écrire dessus « la moitié », par exemple.
P : - Et bien, allez-y !
Ils y vont. Nous avons écrit « 1/2 » pour des questions de place.
E : - Monsieur, ce petit bout-là, ça fait combien ?
P : - Je n’en sais rien ! Comment vous avez fait pour faire des moitiés ?
E : - En coupant à la moitié.
E2 : - Non, moi, j’ai fait en diagonale.
Au tableau, j’ai repris les deux découpages sur un schema en glissant un peu de vocabulaire (médiane, diagonale) puis sur un troisième schema, j’ai fait un découpage arrondi pour demander ce qu’ils en pensaient. On hésitait entre deux tiers et trois quarts.
En discutant de l’autre partie, on hésitait entre un tiers et un quart.(ce qui avait déjà le mérite d’être cohérent)
P : - Si je colle le premier bout sur mon ellipse, qu’est-ce que je peux faire de l’autre ?
E : - Ben, le coller ailleurs. (c’est ce qu’ils avaient fait avec leurs moitiés)
P : - Et alors, que va-t-il se passer quand on va recompter pour trouver l’aire ?
E : - ??????
Qu’est-ce que j’aurais aimé que ça fasse « tilt » mais aucun n’a vu où je voulais en venir.
Je leur ai dit que si l’on collait les deux morceaux, même loin de l’autre, peu importe d’estimer leur aire puisqu’en recomptant pour trouver l’aire, ils feraient un centimètre carré à eux deux.
Peut-être qu’un travail préalable « Aire et tangram », aurait permis qu’ils trouvent eux-même cette astuce.(je vais essayer)
Nous avons convenu d’un code : quand on coupe un centimètre carré, on le retourne du côté blanc (pour ne plus lire « 1cm² ») , on réécrit « 1 » sur l’un des morceaux puis on colorie et colle l’autre ou les autres morceaux ailleurs dans l’ellipse. Ainsi, le comptage final serait facilité.
Le travail était à terminer à la maison et l’on verrait bien celui qui s’approche au plus près de l’aire réelle de l’ellipse.
La correction se trouve dans la rubriquer cachée (n’hésitez pas à me réclamer par mail le mot de passe).